Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，点P是弦AC上一动点（不与A，C重合），过点P作PE⊥AB，垂足为E，射线EP交 于点F，交过点C的切线于点D．

（1）求证：DC=DP；
（2）若∠CAB=30°，当F是 的中点时，判断以A，O，C，F为顶点的四边形是什么特殊四边形？说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：

连接BC、OC，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠OCD=90°，

∴∠OCA+∠OCB=90°，

∵∠OCA=∠OAC，∠B=∠OCB，

∴∠OAC+∠B=90°，

∵CD为切线，

∴∠OCD=90°，

∴∠OCA+∠ACD=90°，

∴∠B=∠ACD，

∵PE⊥AB，

∴∠APE=∠DPC=∠B，

∴∠DPC=∠ACD，

∴AP=DC；

（2）

解：以A，O，C，F为顶点的四边形是菱形；

∵∠CAB=30°，∴∠B=60°，

∴△OBC为等边三角形，

∴∠AOC=120°，

连接OF，AF，

∵F是 的中点，

∴∠AOF=∠COF=60°，

∴△AOF与△COF均为等边三角形，

∴AF=AO=OC=CF，

∴四边形OACF为菱形．

【解析】本题主要考查了切线的性质、圆周角定理和等边三角形的判定等，作出恰当的辅助线利用切线的性质是解答此题的关键．（1）连接BC、OC，利用圆周角定理和切线的性质可得∠B=∠ACD，由PE⊥AB，易得∠APE=∠DPC=∠B，等量代换可得∠DPC=∠ACD，可证得结论；（2）由∠CAB=30°易得△OBC为等边三角形，可得∠AOC=120°，由F是 的中点，易得△AOF与△COF均为等边三角形，可得AF=AO=OC=CF，易得以A，O，C，F为顶点的四边形是菱形．
【考点精析】掌握垂径定理和切线的性质定理是解答本题的根本，需要知道垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；切线的性质：1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径．