Question

【题目】如图，梯形ABCD中，AB∥CD ， AD=BC ， 点E在边AD上，BE与AC相交于点O ， 且∠ABE=∠BCA ．

（1）求证：△BAE∽△BOA.
（2）求证：BOBE=BCAE.

Answer 1

【答案】
（1）

证明：在梯形ABCD中，

∵AB∥CD，AD=BC，

∴∠EAB=∠CBA

∵∠EBA=∠BCA，

∴△EBA∽△ACB

∴∠AEB=∠BAC

∵∠ABE=∠OBA

∴△BAE∽△BOA

（2）

答案：解答：∵△BAE∽△BOA，

∴＝

∵∠BAC=∠OAB，

∠EBA=∠BCA

∴△OAB∽△BAC

∴＝

∴＝

∴BEBO=AEBC

【解析】（1）利用梯形的性质得到∠EAB=∠CBA ， 从而证得△EBA∽△ACB ， 然后利用相似三角形的性质得到∠AEB=∠BAC ， 从而证明△BAE∽△BOA；（2）根据上题证得的△BAE∽△BOA得到 ＝ ， 然后再利用∠BAC=∠OAB、∠EBA=∠BCA证得△OAB∽△BAC ， 从而得到 ＝ ， 再根据 ＝
得到BEBO=AEBC即可．
【考点精析】掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的根本，需要知道相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．