Question

【题目】如图，在△ABC中，点O是AC边上(端点除外)的一个动点，过点O作直线MN∥BC.设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F，连结AE、AF.那么当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．

Answer 1

【答案】当点O运动到AC的中点(或OA＝OC)时，四边形AECF是矩形，理由见解析

【解析】试题分析：当点O运动到AC的中点(或OA＝OC)时，四边形AECF是矩形．如图，由CE平分∠BCA可得∠1＝∠2，由MN∥BC可得∠1＝∠3，所以∠3＝∠2，所以 EO＝CO，

同理可证FO＝CO，所以EO＝FO，结合OA＝OC可得四边形AECF是平行四边形，由CF是∠BCA的外角平分线可得∠4＝∠5，不难证明∠2＋∠4＝90°，所以平行四边形AECF是矩形．

试题解析：

当点O运动到AC的中点(或OA＝OC)时，四边形AECF是矩形．

证明：如图，∵CE平分∠BCA，∴∠1＝∠2，

又∵MN∥BC，∴∠1＝∠3，

∴∠3＝∠2，∴EO＝CO，

同理，FO＝CO，∴EO＝FO，

又∵OA＝OC，∴四边形AECF是平行四边形，

∵CF是∠BCA的外角平分线，∴∠4＝∠5，

又∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠5＝∠2＋∠4，

又∵∠1＋∠5＋∠2＋∠4＝180°，∴∠2＋∠4＝90°，

∴平行四边形AECF是矩形．