Question

【题目】问题情境：如图1，点D是△ABC外的一点，点E在BC边的延长线上，BD平分∠ABC，CD平分∠ACE．试探究∠D与∠A的数量关系．

（1）特例探究：
如图2，若△ABC是等边三角形，其余条件不变，则∠D＝；

如图3，若△ABC是等腰三角形，顶角∠A＝100°，其余条件不变，则∠D＝；这两个图中，∠D与∠A度数的比是；

（2）猜想证明：
如图1，△ABC为一般三角形，在（1）中获得的∠D与∠A的关系是否还成立？若成立，利用图1证明你的结论；若不成立，说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）30°；50°；1：2
（2）解：成立.
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∵CD平分∠ACE，
∴∠ACD=∠DCE，
∵∠ACE是△ABC的外角，
∴∠ACE=∠ABC＋∠A， 即2∠DCE =2∠DBC+∠A，
∵∠DCE是△BCD的外角，
∴∠DCE＝∠DBC＋∠D，
∵2∠DBC+∠A＝2（∠DBC＋∠D），
∴∠D＝ ∠A，即∠D：∠A＝1:2
【解析】解：(1)、30；50；1：2； (1）①根据角平分线的定义得出∠ABD=∠DBC=30°，∠ACD=∠DCE=60°，根据三角形的外角定理得出∠DCE=∠DBC+∠D ,从而得出∠D=30° ;②根据等腰三角形的性质得出∠ABC=40° ,根据角平分线的定义得出∠ABD=∠DBC=20°,根据三角形的外角定理得出∠ACE=∠A＋∠ABC＝140° ,∠ACD=∠DCE=70° ,根据三角形的外角定理得出∠DCE=∠DBC+∠D ,从而得出∠D=50° ;
(2）根据角平分线的定义得出∠ABD=∠DBC，∠ACD=∠DCE，根据三角形的外角定理得出∠ACE=∠ABC＋∠A， 即2∠DCE =2∠DBC+∠A，∠DCE＝∠DBC＋∠D，从而得出2∠DBC+∠A＝2（∠DBC＋∠D），即∠D：∠A＝1:2 。