Question

【题目】如图①，已知直线PQ∥MN，点A在直线PQ上，点C，D在直线MN上，连接AC，AD，∠PAC=50°，∠ADC=30°，AE平分∠PAD，CE平分∠ACD，AE与CE相交于点E．

（1）求∠AEC的度数；

（2）若将图①中的线段AD沿MN向右平移到A1D1如图②所示位置，此时A1E平分∠AA1D1，

CE平分∠ACD1，A1E与CE相交于E，∠PAC=50°，∠A1D1C=30°，求∠A1EC的度数；

（3）若将图①中的线段AD沿MN向左平移到A1D1如图③所示位置，其他条件与（2）相同，求此时∠A1EC的度数(直接写出结果)．

Answer 1

【答案】（1）130°；（2）130°；（3）40°．

【解析】（1）由直线PQ∥MN，∠ADC=∠QAD=30°，可得∠PAD=150°，再求∠PAE=75°，

可得∠CAE=25°；由∠PAC=∠ACN，求得∠ECA=25°，故∠AEC=180°﹣25°﹣25°；

（2）先求出∠QA1D1=30°，∠PA1D1=150°，再求出∠PA1E=∠EA1D1=75°，

再求出∠CAQ=130°，∠ACN=50°，根据平分线定义得∠ACE=25°，再利用四边形内角和性质可求∠CEA1；

（3）根据平行线性质和角平分线定义可求得∠QA1E=∠2=15°，∠ACE=∠ECN=∠1=25°，

所以∠CEA1=∠1+∠2=15°+25°.

解：（1）如图1所示：

∵直线PQ∥MN，∠ADC=30°，

∴∠ADC=∠QAD=30°，

∴∠PAD=150°，

∵∠PAC=50°，AE平分∠PAD，

∴∠PAE=75°，

∴∠CAE=25°，

可得∠PAC=∠ACN=50°，

∵CE平分∠ACD，

∴∠ECA=25°，

∴∠AEC=180°﹣25°﹣25°=130°；

（2）如图2所示：

∵∠A1D1C=30°，线段AD沿MN向右平移到A1D1，PQ∥MN，

∴∠QA1D1=30°，

∴∠PA1D1=150°，

∵A1E平分∠AA1D1，

∴∠PA1E=∠EA1D1=75°，

∵∠PAC=50°，PQ∥MN，

∴∠CAQ=130°，∠ACN=50°，

∵CE平分∠ACD1，

∴∠ACE=25°，

∴∠CEA1=360°﹣25°﹣130°﹣75°=130°；

（3）如图3所示：

过点E作FE∥PQ，

∵∠A1D1C=30°，线段AD沿MN向左平移到A1D1，PQ∥MN，

∴∠QA1D1=30°，

∵A1E平分∠AA1D1，

∴∠QA1E=∠2=15°，

∵∠PAC=50°，PQ∥MN，

∴∠ACN=50°，

∵CE平分∠ACD1，

∴∠ACE=∠ECN=∠1=25°，

∴∠CEA1=∠1+∠2=15°+25°=40°．