Question

【题目】如图，正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，DE=CF，AF与BE相交于O，DG⊥AF，垂足为G．
（1）求证：AF⊥BE；
（2）试探究线段AO、BO、GO的长度之间的数量关系；
（3）若GO：CF=4：5，试确定E点的位置．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵ABCD为正方形，且DE=CF，

∴AE=DF，AB=AD，∠BAE=∠ADF=90°，

在△ABE和△DAF，

∵ ，

∴△ABE≌△DAF，

∴∠ABE=∠DAF，又∵∠ABE+∠AEB=90°，

∴∠DAF+∠AEB=90°，

∴∠AOE=90°，即AF⊥BE

（2）解：BO=AO+OG．

理由：由（1）的结论可知，

∠ABE=∠DAF，∠AOB=∠DGA=90°，AB=AD，

在△ABO和△DAG中，

∵ ，

则△ABO≌△DAG，

所以，BO=AG=AO+OG

（3）解：过E点作EH⊥DG，垂足为H，

由矩形的性质，得EH=OG，

∵DE=CF，GO：CF=4：5，∴EH：ED=4：5，

∵AF⊥BE，AF⊥DG，∴OE∥DG，

∴∠AEB=∠EDH，△ABE∽△HED，

∴AB：BE=EH：ED=4：5，

在Rt△ABE中，AE：AB=3：4，

故AE：AD=3：4，

即AE= AD．

【解析】（1）由DE=CF及正方形的性质，得出AE=DF，AB=AD，∠BAE=∠ADF=90°，证明△ABE≌△DAF，得出∠ABE=∠DAF，而∠ABE+∠AEB=90°，利用互余关系得出∠AOE=90°即可；（2）由（1）的结论可证△ABO≌△DAG，得BO=AG=AO+OG；（3）过E点作EH⊥DG，垂足为H，则EH=OG，由DE=CF，GO：CF=4：5，得EH：ED=4：5，而AF⊥BE，AF⊥DG，则OE∥DG，∠AEB=∠EDH，△ABE∽△HED，利用相似比得出AB：BE，由勾股定理得出AE：AB，从而得出AE：AD．
【考点精析】认真审题，首先需要了解正方形的性质(正方形四个角都是直角，四条边都相等；正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；正方形的对角线与边的夹角是45o；正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形)，还要掌握相似三角形的判定与性质(相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方)的相关知识才是答题的关键．