Question

【题目】如图，在矩形中，点. 沿直线折叠矩形，使点落在边上，与点重合．分别以，所在的直线为轴，轴建立平面直角坐标系，抛物线经过两点．

（1）求及点的坐标；

（2）一动点从点出发，沿以每秒个单位长的速度向点运动， 同时动点从点出发，沿以每秒个单位长的速度向点运动， 当点运动到点时，两点同时停止运动．设运动时间为秒，当为何值时，以，，为顶点的三角形与相似？

（3）点在抛物线对称轴上，点在抛物线上，是否存在这样的点与点 N，使以，，， 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点与点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1），；（2）当或时，以为顶点的三角形与相似；（3）存在符合条件的点，且它们的坐标为：①；②；③.

【解析】

（1）先求出OE=6，AE=4，设，根据勾股定理得到关于x方程组，求出点D坐标，根据待定系数法即可求解；

（2）根据题意得到，继而得到，然后分和 求解即可；

（3）假设存在符合条件的点，分两种情况讨论：①为平行四边形的对角线，②为平行四边形的边，根据平行四边形性质即可求解．

（1）四边形为矩形，

由题意得，

，

由勾股定理得，

设，则，

由勾股定理，得，解得，

抛物线过点

∵抛物线对应函数的解析式为

，解得：

抛物线的解析式为：；

（2）

由（1）可得，

而，

，

情况1：当，

，即，解得：

情况2：当

，即，解得：

当或时，以为顶点的三角形与相似；

（3）假设存在符合条件的点，分两种情况讨论：

①为平行四边形的对角线，由于抛物线的对称轴经过中点，

若四边形是平行四边形，那么点必为抛物线顶点，则，

平行四边形的对角线互相平分，

线段必被中点平分，

则；

②为平行四边形的边，则，

设，则或；

将代入抛物线的解析式中，解得：，

此时；

将代入抛物线的解析式中，解得：，

此时；

综上，存在符合条件的点，且它们的坐标为：

①；②；③．