【题目】如图,在中,
于点
,动点
从点
出发以每秒
个单位长度的速度向终点
运动,当点
与点
不重合时,过点
作
交边
于点
,以
为边作
使
点
在点
的下方,且
,设
与
重叠部分图形的面积为
,点
的运动时间为
秒.
(1)的长为 ;
(2)当点落在边
上时,求
的值;
(3)当与
重叠部分图形为四边形时,求
与
之间的函数关系式;
(4)若射线与边
交于点
连结
,当
的垂直平分线经过
的顶点时,直接写出
的值.
【答案】(1)2;(2);(3)当0<t≤
时,
;
≤t<2时,
;(4)
或
或
.
【解析】
(1)由勾股定理计算出BD即可得到CD的长度;
(2)当点F落在BC上时,四边形BFEP为平行四边形,利用锐角三角函数的定义表达出BF,根据PE=BF列出方程解答即可;
(3)分别求出当EF经过点D时,以及当点F在边BC上时的时间t,再分类讨论,当0<t≤时,重叠部分为四边形PNDM;
≤t<2时,△PEF与△ABD重叠的部分为四边形PFHG,分别根据锐角三角函数的定义以及相似三角形的相似比,表达出面积即可;
(4)分三种情况讨论,①当PQ的中垂线过点B时,证明平行四边形PBQE是菱形,再根据PE=BP列出等式求解即可;②当PQ的中垂线过点A时,在Rt△AQD中,根据AD2+QD2=AQ2即可解答;③当PQ的中垂线经过点C时,根据CQ=PC列出等式即可解答.
(1)由题意可知,BD=,
∴CD=BC-BD=10-8=2,
故答案为:2;
(2)如图,当点F落在BC上时,由题意可知,BP=5t,则AP=10-5t,
∵PE∥BC,EF∥AB,
则四边形BFEP为平行四边形,且∠AEP=∠ACB,
又∵∠ACB=∠BAC,
∴∠AEP=∠BAC,
∴PE=AP=10-5t,
又∵cosB=,
∴,则BF=4t,
∵四边形BFEP为平行四边形,
∴PE=BF,即,解得:
,
(3)①如下图所示,当EF经过点D时,
∵PE∥BC,EF∥AB,
∴四边形PBDE是平行四边形,且∠DEC=∠BAC,
∴DE=BP=5t,∠DEC=∠C,
∴DE=DC,即5t=2,解得t=,
∴当0<t≤时,重叠部分为四边形PNDM,
∵∠EPF=90°,PE∥BC,
∴∠PND=90°,
又∵∠ADB=90°,
∴四边形PNDM为矩形,
在RT△BPN中,sinB=,即
,解得PN=3t,
cosB=,即
,解得BN=4t,
∴DN=8-4t,
∴S=PN·DN=,
②当点F在边BC上时,如图,
由①可知BF=4t,PF=3t,则CF=10-4t,
由EF=CF可得:5t=10-4t,解得:,
∴≤t<2时,△PEF与△ABD重叠的部分为四边形PFHG,
∵PE∥BC,
∴△APG∽△ABD,
∴,即
,解得:PG=
,
∵PE=AP=10-5t,
∴GE=10-5t-=
,
∵EF∥AB,
∴∠EHG=∠BAD,
∴tan∠EHG=tan∠BAD,即,
∴,解得:GH=
,
又∵∠PFE=∠EHG,则∠PFE=∠BAD
∴tan∠PFE=tan=∠BAD,即,解得:PF=
,
∴,
综上所述:当0<t≤时,
;
≤t<2时,
;
(4)①当PQ的中垂线过点B时,如图,即BE是PQ的中垂线,
∵四边形PBQE是平行四边形,BE垂直PQ,
∴平行四边形PBQE是菱形,
∴PE=BP,即5t=10-5t,解得:t=1,
②当PQ的中垂线过点A时,如图,连接AE,则AP=AQ=10-5t,
∵CQ=EQ=5t,
∴QD=CQ-CD=5t-2,
∴在Rt△AQD中,AD2+QD2=AQ2,即,解得:
,
③当PQ的中垂线经过点C时,如图,连接PC,延长PF交BC于点K,
则CQ=PC,
∵∠EPF=90°,PE∥BC,
∴∠PKC=90°,
∵BK=4t,PK=3t,则CK=10-4t,
∴PC=,
又∵CQ=QE=BP=5t,
∴5t=,解得:
,
综上所述:或
或
.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,抛物线与
轴交于点
和点
,与
轴交于点
.点
和点
关于
轴对称,点
是线段
上的一个动点.设点
的坐标为
,过点
作
轴的垂线
交抛物线于点
,交直线
于点
.
(1)求抛物线的解析式;
(2)连接,
,当点
运动到何处时,
面积最大?最大面积是多少?并求出此时点
的坐标;
(3)在第问的前提下,在
轴上找一点
,使
值最小,求出
的最小值并直接写出此时点
的坐标.
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在矩形中,点
. 沿直线
折叠矩形
,使点
落在
边上,与点
重合.分别以
,
所在的直线为
轴,
轴建立平面直角坐标系,抛物线
经过
两点.
(1)求及点
的坐标;
(2)一动点从点
出发,沿
以每秒
个单位长的速度向点
运动, 同时动点
从点
出发,沿
以每秒
个单位长的速度向点
运动, 当点
运动到点
时,两点同时停止运动.设运动时间为
秒,当
为何值时,以
,
,
为顶点的三角形与
相似?
(3)点在抛物线对称轴上,点
在抛物线上,是否存在这样的点
与点 N,使以
,
,
,
为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出点
与点
的坐标;若不存在,请说明理由.
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,菱形的对角线
相交于点
按下列步骤作图:①以点
为圆心,任意长为半径作弧,分别交
于点
;②以点
为圆心,
长为半径作弧,交
于点
;③点
为圆心,
以长为半径作弧,在
内部交②中所作的圆弧于点
;④过点
作射线
交
于点
.
,四边形
的面积为( )
A.B.
C.
D.
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,点A,B,C是半径为2的⊙O上三个点,AB为直径,∠BAC的平分线交圆于点D,过点D作AC的垂线交AC得延长线于点E,延长线ED交AB得延长线于点F.
(1)判断直线EF与⊙O的位置关系,并证明.
(2)若DF=,求tan∠EAD的值.
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在的边
上取一点
,以
为圆心,
为半径画⊙O,⊙O与边
相切于点
,
,连接
交⊙O于点
,连接
,并延长交线段
于点
.
(1)求证:是⊙O的切线;
(2)若,
,求⊙O的半径;
(3)若是
的中点,试探究
与
的数量关系并说明理由.
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【题目】深圳天虹某商场从厂家批发电视机进行零售,批发价格与零售价格如下表:
电视机型号 | 甲 | 乙 |
批发价(元/台) | 1500 | 2500 |
零售价(元/台) | 2025 | 3640 |
若商场购进甲、乙两种型号的电视机共50台,用去9万元.
(1)求商场购进甲、乙型号的电视机各多少台?
(2)迎“元旦”商场决定进行优惠促销:以零售价的七五折销售乙种型号电视机,两种电视机销售完毕,商场共获利8.5%,求甲种型号电视机打几折销售?
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知一次函数
的图象与反比例函数
的图象相交于A,B两点.且点A的坐标为
.
(1)求该一次函数的解析式;
(2)求的面积.
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