Question

【题目】（1）如图1，O是等边△ABC内一点，连接OA、OB、OC，且OA=3，OB=3，OC=5，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．求：

①旋转角的度数；

②线段OD的长；

③∠BDC的度数．

（2）如图2所示，O是等腰直角△ABC（∠ABC=90°）内一点，连接OA、OB、OC，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．当OA、OB、OC满足什么条件时，∠ODC=90°？请给出证明．

Answer 1

【答案】（1）①60°；②OD=OB=4；③150°；（2）当OA、OB、OC满足OA2+2OB2=OC2时，∠ODC=90°．

【解析】

试题分析：（1）①根据等边三角形的性质得BA=BC，∠ABC=60°，再根据旋转的性质得∠OBD=∠ABC=60°，于是可确定旋转角的度数为60°；

②由旋转的性质得BO=BD，加上∠OBD=60°，则可判断△OBD为等边三角形，所以OD=OB=4；

③由△BOD为等边三角形得到∠BDO=60°，再利用旋转的性质得CD=AO=3，然后根据勾股定理的逆定理可证明△OCD为直角三角形，∠ODC=90°，所以∠BDC=∠BDO+∠ODC=150°；

（2）根据旋转的性质得∠OBD=∠ABC=90°，BO=BD，CD=AO，则可判断△OBD为等腰直角三角形，则OD=OB，然后根据勾股定理的逆定理，当CD2+OD2=OC2时，△OCD为直角三角形，∠ODC=90°．

解：（1）①∵△ABC为等边三角形，

∴BA=BC，∠ABC=60°，

∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，

∴∠OBD=∠ABC=60°，

∴旋转角的度数为60°；

②∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，

∴BO=BD，

而∠OBD=60°，

∴△OBD为等边三角形；

∴OD=OB=4；

③∵△BOD为等边三角形，

∴∠BDO=60°，

∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，

∴CD=AO=3，

在△OCD中，CD=3，OD=4，OC=5，

∵32+42=52，

∴CD2+OD2=OC2，

∴△OCD为直角三角形，∠ODC=90°，

∴∠BDC=∠BDO+∠ODC=60°+90°=150°；

（2）OA2+2OB2=OC2时，∠ODC=90°．理由如下：

∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，

∴∠OBD=∠ABC=90°，BO=BD，CD=AO，

∴△OBD为等腰直角三角形，

∴OD=OB，

∵当CD2+OD2=OC2时，△OCD为直角三角形，∠ODC=90°，

∴OA2+2OB2=OC2，

∴当OA、OB、OC满足OA2+2OB2=OC2时，∠ODC=90°．