Question

【题目】【发现证明】如图1，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，∠EAF=45°，试判断BE，EF，FD之间的数量关系．

小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，通过证明△AEF≌△AGF；从而发现并证明了EF=BE+FD．
（1）【类比引申】如图2，点E、F分别在正方形ABCD的边CB、CD的延长线上，∠EAF=45°，连接EF，请根据小聪的发现给你的启示写出EF、BE、DF之间的数量关系，并证明；

（2）【联想拓展】如图3，如图，∠BAC=90°，AB=AC，点E、F在边BC上，且∠EAF=45°，若BE=3，EF=5，求CF的长．

Answer 1

【答案】
（1）解：DF=EF+BE．

理由：如图1所示，

∵AB=AD，

∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，

∵∠ADC=∠ABE=90°，

∴点C、D、G在一条直线上，

∴EB=DG，AE=AG，∠EAB=∠GAD，

∵∠BAG+∠GAD=90°，

∴∠EAG=∠BAD=90°，

∵∠EAF=45°，

∴∠FAG=∠EAG﹣∠EAF=90°﹣45°=45°，

∴∠EAF=∠GAF，

在△EAF和△GAF中，

，

∴△EAF≌△GAF，

∴EF=FG，

∵FD=FG+DG，

∴DF=EF+BE

（2）解：∵∠BAC=90°，AB=AC，

∴将△ABE绕点A顺时针旋转90°得△ACG，连接FG，如图2，

∴AG=AE，CG=BE，∠ACG=∠B，∠EAG=90°，

∴∠FCG=∠ACB+∠ACG=∠ACB+∠B=90°，

∴FG2=FC2+CG2=BE2+FC2；

又∵∠EAF=45°，

而∠EAG=90°，

∴∠GAF=90°﹣45°，

在△AGF与△AEF中，

，

∴△AEF≌△AGF，

∴EF=FG，

∴CF2=EF2﹣BE2=52﹣32=16，

∴CF=4．

【解析】（1）根据旋转的性质和正方形的性质，得到EB=DG，AE=AG，∠EAB=∠GAD，由已知条件得到△EAF≌△GAF，根据全等三角形的对应边相等，得到EF=FG，从而得到DF=EF+BE；（2）根据旋转的性质和勾股定理，得到△AEF≌△AGF，根据全等三角形的对应边相等，得到EF=FG，求出CF的长．
【考点精析】关于本题考查的正方形的性质和旋转的性质，需要了解正方形四个角都是直角，四条边都相等；正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；正方形的对角线与边的夹角是45o；正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形；①旋转后对应的线段长短不变，旋转角度大小不变；②旋转后对应的点到旋转到旋转中心的距离不变；③旋转后物体或图形不变，只是位置变了才能得出正确答案．