Question

【题目】已知，在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2．若以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B在第一象限内．将Rt△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处．

（1）求点C的坐标；
（2）若抛物线y=ax2+bx（a≠0）经过C、A两点，求此抛物线的解析式；
（3）若上述抛物线的对称轴与OB交于点D，点P为线段DB上一动点，过P作y轴的平行线，交抛物线于点M，问：是否存在这样的点P，使得四边形CDPM为等腰梯形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：过点C作CH⊥x轴，垂足为H；

∵在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2，

∴OB=4，OA=2 ；

由折叠的性质知：∠COB=30°，OC=AO=2 ，

∴∠COH=60°，OH= ，CH=3；

∴C点坐标为（ ，3）

（2）解：∵抛物线y=ax2+bx（a≠0）经过C（ ，3）、A（2 ，0）两点，

∴ ，

解得 ；

∴此抛物线的函数关系式为：y=﹣x2+2 x

（3）解：存在．

∵y=﹣x2+2 x的顶点坐标为（ ，3），

即为点C，MP⊥x轴，垂足为N，设PN=t；

∵∠BOA=30°，

∴ON= t，

∴P（ t，t）；

作PQ⊥CD，垂足为Q，ME⊥CD，垂足为E；

把x= t代入y=﹣x2+2 x，

得y=﹣3t2+6t，

∴M（ t，﹣3t2+6t），E（ ，﹣3t2+6t），

同理：Q（ ，t），D（ ，1）；

要使四边形CDPM为等腰梯形，只需CE=QD，

即3﹣（﹣3t2+6t）=t﹣1，

解得t= ，t=1（舍去），

∴P点坐标为（ ， ），

∴存在满足条件的P点，使得四边形CDPM为等腰梯形，此时P点坐标为（ ， ）

【解析】（1）根据直角三角形的性质，求出OA、OB的值，由折叠的性质，得到C点坐标；（2）由抛物线经过C、A两点，由待定系数法求出抛物线的函数关系式；（3）根据抛物线的解析式，求出抛物线的顶点坐标，由∠BOA=30°，得到P点的坐标，求出M、E、Q、D的坐标，根据要使四边形CDPM为等腰梯形，只需CE=QD，求出P点坐标；此题是综合题，难度较大，计算和解方程时需认真仔细.