Question

【题目】在正方形ABCD中，点E是射线BC上的点，直线AF与直线AB关于直线AE对称，直线AF交射线CD于点F．

(1)如图①，当点E是线段BC的中点时，求证：AF=AB+CF；

(2)如图②，当∠BAE=30°时，求证：AF=2AB﹣2CF；

(3)如图③，当∠BAE=60°时，(2)中的结论是否还成立？若不成立，请判断AF与AB、CF之间的数量关系，并加以证明．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)成立，理由见解析

【解析】

(1)由折叠的性质得出AG=AB，BE=GE，进而用HL判断出Rt△EGF≌Rt△ECF，代换即可得出结论；
(2)利用含30°的直角三角形的性质即可证明；
(3)先判断出△AIF为等边三角形，得出AI=FI=AF，再代换即可得出结论．

(1)如图，过点E作EG⊥AF于点G，连接EF．

由折叠性质知，△ABE≌△AGE，

∴AG=AB，BE=GE，

∵BE=CE，

∴GE=CE，

在Rt△EGF和Rt△ECF中，

，

∴Rt△EGF≌Rt△ECF，(HL)

∴FG=FC，

∵AF=AG+FG，

∴AF=AB+FC ；

(2)如图，延长AF、BC交于点H．

在正方形ABCD中，

∠B =90°，

由折叠性质知，∠BAE=∠HAE=30°，

∴∠H=90°-∠BAE-∠HAE =30°，

Rt△ABH中，∠B =90°，∠H =30°，

∴AH=2AB，

同理：FH=2FC，

∵AF=AH﹣FH，

∴AF=2AB﹣2FC；

(3)由折叠知，∠BAE=∠FAE=60°，
∴∠DAE=∠DAF=30°，

又∵AD⊥IF，
∴△AIF为等边三角形，
∴AF=AI=FI，
由(2)可得AE=2AB，
IE=2IC，
∵IC=FC-FI，
∴IC=FC-AF，
∴IE=2FC-2AF，
∵AI=AE-IE，
∴AF=2AB-(2FC-2AF)
=2FC-2AB．