Question

【题目】【问题提出】

学习了三角形全等的判定方法（即“SSS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．

【初步思考】

我们不妨将问题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，然后，对∠B进行分类，可分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．

【深入探究】

第一种情况：当∠B是直角时，△ABC≌△DEF．

如图①，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根据　 　，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．

第二种情况：当∠B是钝角时，△ABC≌△DEF．

如图②，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B，∠E都是钝角，请你证明：△ABC≌△DEF（提示：过点C作CG⊥AB交AB的延长线于G，过点F作FH⊥DE交DE的延长线于H）．

第三种情况：当∠B是锐角时，△ABC和△DEF不一定全等．

在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B，∠E都是锐角，请你利用图③，在图③中用尺规作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等．

Answer 1

【答案】（1）HL；（2）详见解析；（3）△DEF和△ABC不全等，图见解析.

【解析】试题分析：

（1）由题意可知，此时得到：Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是“HL”；

（2）如图，分别过点C作CG⊥AB交AB的延长线于点G，过点F作FH⊥DE交DE的延长线于H，然后先用“AAS”证△CBG≌△FEH，接着用“HL”证Rt△ACG≌Rt△DFH，最后用“AAS”证△ABC≌△DEF即可；

（3）在图3中以点C为圆心，CA为半径作弧交AB于点D，设点E和点B重合，点F和点C重合，则图中的△ABC和△DEF满足题目中的条件，但很明显，此时两个三角形并不全等.

试题解析：

（1）∵在△ABC和△DEF中：AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，

∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）.

即此时判定两三角形全等的依据是：HL；

（2）如图，过点C作CG⊥AB交AB的延长线于G，过点F作FH⊥DE交DE的延长线于H，

∵∠ABC=∠DEF，且∠ABC、∠DEF都是钝角，

∴180°﹣∠ABC=180°﹣∠DEF，

即∠CBG=∠FEH，

在△CBG和△FEH中， ，

∴△CBG≌△FEH（AAS），

∴CG=FH，

在Rt△ACG和Rt△DFH中， ，

∴Rt△ACG≌Rt△DFH（HL），

∴∠A=∠D，

在△ABC和△DEF中， ，

∴△ABC≌△DEF（AAS）；

（3）如图，△DEF和△ABC中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，满足了题目中的条件，但很明显，它们不全等.