Question

【题目】已知ABCD的一组邻边AB、AD的长是关于x的方程x2﹣4x+m=0的两个实根．

（1）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？
（2）在第（1）问的前提下，若∠ABC=60°，求ABCD的面积．

Answer 1

【答案】
（1）解：四边形ABCD是菱形时，AB=AD，

∵AB，AD的长是关于x的方程x2﹣mx+4=0的两个实数根，

∴△=（﹣4）2﹣4m=0，

解得：m=4，

∴当m=4时，四边形ABCD是菱形

（2）解：如图，连接AC、BD交于点O，

当m=4时，

x2﹣4x+4=0，

解得：x1=x2=2，

则AB=2，

∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，

∴∠ABO= ∠ABC=30°，

DB═2OB，AC=2OA，AC⊥BD，

在直角△AOB中，

∵∠ABO=30°，

∴OA= AB=1，

0B= ，

BD=2OB=2 ，

AC=2OA=2，

∴S菱形ABCD= BDAC= ×2×2 =2 ．

【解析】（1）由菱形的判定知四边形ABCD是菱形时，AB=AD，根据方程根的判别式知△=（﹣4）2﹣4m=0，解方程求出m的值，从而得出结论；
（2）连接AC、BD交于点O，首先计算出菱形的边长AB，然后根据菱形的对角线垂直、平分、每条对角线平分一组对角，得出∠ABO=30°，DB═2OB，AC=2OA，AC⊥BD，在直角△AOB中，利用含30角的直角三角形的边之间的关系求出OA,OB，进而得出BD,AC，根据菱形的面积等于两对角线之积的一半得出答案。
【考点精析】掌握求根公式是解答本题的根本，需要知道根的判别式△=b2-4ac，这里可以分为3种情况：1、当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根2、当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根3、当△<0时，一元二次方程没有实数根．