Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=11．直角尺的直角顶点P在AD上滑动时（点P与A，D不重合），一直角边始终经过点C，另一直角边与AB交于点E．

（1）△CDP与△PAE相似吗？如果相似，请写出证明过程；

（2）是否存在这样的点P，使△CDP的周长等于△PAE周长的2倍？若存在，求DP的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）△CDP∽△PAE；（2）DP=8．

【解析】试题分析：（1）由在矩形ABCD中，直角尺的直角顶点P在AD上滑动时，一直角边始终经过点C，另一直角边与AB交于点E，易得∠A=∠D=90°，∠APE=∠PCD，继而证得△CDP与△PAE相似；

（2）假设存在满足条件的点P，设DP=x，则AP=AD-DP=11-x，由相似三角形的周长比等于相似比，易得=2，继而求得答案．

试题解析：解：（1）△CDP∽△PAE．证明如下：

∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠A=90°，CD=AB=6，∴∠PCD+CPD=90°．∵∠CPE=90°，∴∠APE+∠CPD=90°，∴∠APE=∠PCD，∴△CDP∽△PAE；

（2）假设存在满足条件的点P，设DP=x，则AP=AD﹣DP=11﹣x．∵△CDP∽△PAE，∴ =2，∴=2，解得：x=8，∴AP=3，AE=4，即DP=8．