Question

【题目】如图，在正方形ABCD中，点E、F分别为边BC、CD上两点，∠EAF=45°， 过点A作∠GAB=∠FAD,且点G为边CB延长线上一点.①△GAB≌△FAD吗？说明理由。②若线段DF=4， BE=8，求线段EF的长度。③若DF=4,CF=8.求线段EF的长度。

Answer 1

【答案】（1）全等 (2)7 (3)EF=10

【解析】(1)、根据正方形的性质得出AB=AD,∠ABG=∠D，结合∠GAB=∠FAD得出三角形全等；(2)、根据三角形全等得出BG=DF=4，AG=AF，根据∠EAF=45°以及三角形全等、正方形的性质得出∠GAE=∠EAF，从而得出△GAE和△FAE全等，从而得出答案；(3)、根据第二题的结论得出答案．

（1）全等

证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴AB=AD,∠ABG=∠D，

在△ABG和△ADF中 ∵∠GAB=∠FAD，AB=AD,∠ABG=∠D， ∴△GAB≌△FAD.

（2）解：∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，∴∠DAF+∠BAE=45°，

∵△GAB≌△FAD， ∴∠GAB=∠FAD，AG=AF， ∴∠GAB+∠BAE=45°，∴∠GAE =45°，

∴∠GAE=∠EAF， 在△GAE和△FAE中，∵AG=AF, ∠GAE=∠EAF,AE=AE，

∴△GAE≌△FAE（SAS）， ∴EF=GE， ∵△GAB≌△FAD，∴GB=DF，

∴EF=GE=GB+BE=FD+BE=3+4=7；

(3)EF=10．