Question

【题目】（知识生成）

我们已经知道，通过不同的方法表示同一图形的面积，可以探求相应的等式．

2002年8月在北京召开了国际数学大会，大会会标如图1所示，它是由四个形状大小完全相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，直角三角形的两条直角边长分别为a、b （ a<b ），斜边长为c．

（1）图中阴影部分的面积用两种方法可分别表示为　 　 、　 　 ；

（2）你能得出的a，b，c之间的数量关系是　 　 （等号两边需化为最简形式）；

（3）一直角三角形的两条直角边长为6和8，则其斜边长为　 　 ．

（知识迁移）

通过不同的方法表示同一几何体的体积，也可以探求相应的等式．如图2是边长为a+b的正方体，被如图所示的分割线分成8块．

（4）用不同方法计算这个正方体体积，就可以得到一个等式，这个等式可以为　 　 ．（等号两边需化为最简形式）

（5）已知a+b＝3，ab＝1，利用上面的规律求a3+b3的值．

Answer 1

【答案】（1）c2﹣2ab，（b﹣a）2；（2）a2+b2＝c2；（3）10；（4）（a+b）3＝a3+b3+3a2b+3ab2；（5）a3+b3＝18．

【解析】

（1）求出图形的各个部分的面积，即可得出答案；
（2）根据（1）的结果，即可得出答案；
（3）代入求出即可；
（4）求出大正方体的条件和各个部分的体积，即可得出答案；
（5）代入（4）中的等式求出即可．

解：

（1）答案为：c2﹣2ab，（b﹣a）2；

（2）答案为：a2+b2＝c2；

（3）答案为：10；

（4）图形的体积为（a+b）3或a3+b3+a2b+a2b+a2b+ab2+ab2+ab2，

即（a+b）3＝a3+b3+3a2b+3ab2，

故答案为：（a+b）3＝a3+b3+3a2b+3ab2；

（5）∵a+b＝3，ab＝1，（a+b）3＝a3+b3+3a2b+3ab2，＝a3+b3+3ab（a+b）

∴33＝a3+b3+3×1×3，

解得：a3+b3＝18．