Question

【题目】如图，OF是∠MON的平分线，点A在射线OM上，P，Q是直线ON上的两动点，点Q在点P的右侧，且PQ=OA，作线段OQ的垂直平分线，分别交直线OF,ON于点B、点C，连接AB,PB．

（1）如图1，当P、Q两点都在射线ON上时，请直接写出线段AB与PB的数量关系；
（2）如图2，当P、Q两点都在射线ON的反向延长线上时，线段AB，PB是否还存在（1）中的数量关系？若存在，请写出证明过程；若不存在，请说明理由；
（3）如图3，∠MON=60°，连接AP，设 =k，当P和Q两点都在射线ON上移动时，k是否存在最小值？若存在，请直接写出k的最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：连接：AB=PB．

理由：如图1中，连接BQ．

∵BC垂直平分OQ，

∴BO=BQ，

∴∠BOQ=∠BQO，

∵OF平分∠MON，

∴∠AOB=∠BQO，

∵OA=PQ，

∴△AOB≌△PQB，

∴AB=PB．

（2）解：存在，

理由：如图2中，连接BQ．

∵BC垂直平分OQ，

∴BO=BQ，

∴∠BOQ=∠BQO，

∵OF平分∠MON，∠BOQ=∠FON，

∴∠AOF=∠FON=∠BQC，

∴∠BQP=∠AOB，

∵OA=PQ，

∴△AOB≌△PQB，

∴AB=PB．

（3）解：连接BQ．

易证△ABO≌△PBQ，

∴∠OAB=∠BPQ，AB=PB，

∵∠OPB+∠BPQ=180°，

∴∠OAB+∠OPB=180°，∠AOP+∠ABP=180°，

∵∠MON=60°，

∴∠ABP=120°，

∵BA=BP，

∴∠BAP=∠BPA=30°，

∵BO=BQ，

∴∠BOQ=∠BQO=30°，

∴△ABP∽△OBQ，

∴ = ，

∵∠AOB=30°，

∴当BA⊥OM时， 的值最小，最小值为0.5，

∴k=0.5．

【解析】（1）利用垂直平分线的性质须连结BQ，构造出全等三角形；（2）类比（1）的方法、辅助线做法，仍是构造全等三角形;（3）连结BQ，转化整个比例，通过相似，转化为,从而当垂直时比值最小，恰等于sin30°=0.5.
【考点精析】通过灵活运用线段垂直平分线的性质和相似三角形的判定与性质，掌握垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线；线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等；相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方即可以解答此题．