Question

【题目】已知，在□ABCD中，连接对角线， 平分线交于点， 平分线交于点， 、交于点，点为上一点，且。

（1）如图1，若是等边三角形， ，求□ABCD的面积；

（2）如图2，若是等腰直角三角形， ，求证： 。

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】试题分析：（1）根据平行四边形ABCD的面积=2×SΔACD，求出ΔACD的面积即可；

（2）如图2中，延长OF到M，使得FM=OF，连接CM.只要证明AC=AM，OA=AG=CE即可解决问题.

试题解析：（1）如图1中，

∵△ACD是等边三角形，

∴AC=CD=AD，∠ACD=∠D=∠CAD=60°，

∵∠OAC=∠OCA=30°，

∴OA=OC=2，

∵CG平分∠ACD，

∴CG⊥AD，

在RtΔAOG中，∵∠OAG=30°OA=2，

∴OG=OA=1，AG= ，

∴AD=2AG=2，

∴S△ACD=ADCG==3．

∴平行四边形ABCD的面积=2S△ACD=6．

（2）如图2中，延长OF到M，使得FM=OF，连接CM．

∵△ACD是等腰直角三角形，AF、CG是角平分线，

∴AF⊥CF，∠OAC=∠D=∠ACD=45°，∠OCA=∠DCG=22.5°，

∴∠OCF=∠OAC+∠OCA=67.5°，∠AGD=∠D+∠GCD=67.5°，

∴∠AOG=∠AGO，

∴OA=AG，

∵CF⊥OM，OF=OM，

∴CO=CM，

∴∠M=∠COM=67.5°，

∴∠ACM=180°﹣∠CAM﹣∠M=67.5°，

∴∠CAM=∠M，

∴CA=AM，

∵∠BAE=∠GCD=22．°5，AB∥CD，

∴∠BAC=∠ACD=45°，

∴∠EAC=∠ACG=22.5°，

∴AE∥CG，∵EC∥AG，

∴四边形AECG是平行四边形，

∴CE=AG=OA，

∴AC=AM=OA+OM=CE+2OF．