Question

【题目】如图，BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，BF与CE交于D，且BD=CD．

(1)求证：D在∠BAC的平分线上；

(2)若将条件：BD=CD和结论：D在∠BAC的平分线上互换，结论成立吗？试说明理由．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）成立，理由见解析.

【解析】

（1）先通过“角角边”证明Rt△BED≌Rt△CFD，得到DE=DF，再根据角平分线的性质得出证明；

（2）根据角平分线的性质得到DE=DF，再通过“角边角”证明Rt△BED≌Rt△CFD，得到BD=CD.

（1）证明：∵BF⊥AC，CE⊥AB，

∴∠BED＝∠CFD＝90°，

在Rt△BED和Rt△CFD中，

∵（对顶角相等），

∴Rt△BED≌Rt△CFD（AAS），

∴DE＝DF（全等三角形的对应边相等），

∴D在∠BAC的平分线上（到角的两边距离相等的点在角的平分线上）；

（2）解：成立．理由如下：

∵点D在∠BAC的平分线上，且BF⊥AC，CE⊥AB，

∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°，

在Rt△BED和Rt△CFD中，

∵，

∴Rt△BED≌Rt△CFD（ASA），

∴BD＝DC（全等三角形的对应边相等）．