Question

【题目】如图（1），平面直角坐标系中，直线y=与x轴、y轴分别交于点B、D，直线y=与x轴、y轴分别交于点C、E，且两条直线交于点A．

（1）若OH⊥CE于点H，求OH的长．

（2）求四边形ABOE的面积．

（3）如图（2），已知点F（﹣ ，0），在△ABC的边上取两点M、N，是否存在以点O，M，N为顶点的三角形与△OFM全等，且两个三角形在边OM的异侧？若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标，若不存在，请说明理由．（温馨提示：若点A（x1，y1），点B（x2，y2），则线段AB的中点坐标为（，）．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）满足条件的点M坐标为（﹣， ）或（﹣，）或（﹣， ）或（0，3）．

【解析】

（1）利用面积法：×CE×OH=×OC×OA即可解决问题；

（2）求出A、E、B、A的坐标，利用分割法即可解决问题；

（3）分四种情形分别求解即可解决问题.

（1）∵直线y=与x轴、y轴分别交于点C、E，

∴C（﹣4，0），E（0，3），

∴OC=4，OE=3，

∴EC=，

∵OH⊥CE，

∴×CE×OH=×OC×OA，

∴OH==．

（2）如图1中，连接OA．

∵直线y=与x轴、y轴分别交于点B、D，

∴D（0，4），B（3，0），

由，解得，

∴A（，），

∴S四边形ABOE=S△AOE+S△AOB=×3×+×4×=．

（3）①如图2中，当FM⊥OC时，△OMN≌△OMF．

∵F（﹣，0），OH=，

∴OF=OH，

∴当FM⊥OC时，△OMN≌△OMF，

此时M（﹣，）．

②如图3中，作ON⊥AB于N，易知N（，），ON=OF，当OM平分∠CON时，△OMN≌△OMF．

设M（m，m+3），由MF=MN，可得：（m+）2+（m+3）2=（m﹣）2+（）2，

解得m=﹣，

∴M（﹣，）．

③如图4中，当MN∥OF，且MN=OF时，△OFM≌△MNO．

设M（x，x+3），则N（x+，﹣（x+）+4），

∴x+3=﹣（x+）+4，

解得x=﹣，

∴M（﹣，）．

④如图5中，当点M与E重合，且OF=ON时，△OMF≌△OMN，此时M（0，3）．

综上所述，满足条件的点M坐标为（﹣，）或（﹣，）或（﹣，）或（0，3）．