Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．直线y=kx+b与抛物线y=mx2﹣x+n同时经过A（0，3）、B（4，0）．
（1）求m，n的值．
（2）点M是二次函数图象上一点，（点M在AB下方），过M作MN⊥x轴，与AB交于点N，与x轴交于点Q．求MN的最大值．
（3）在（2）的条件下，是否存在点N，使△AOB和△NOQ相似？若存在，求出N点坐标，不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】解：（1）∵抛物线y=mx2﹣x+n经过A（0，3）、B（4，0），
∴，
解得．
∴二次函数的表达式为y=x2﹣x+3．
（2）∵直线y=kx+b经过A（0，3）、B（4，0），则，
解得．
∴经过AB两点的一次函数的解析式为y=﹣x+3．
MN=﹣x+3﹣（x2﹣x+3）=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，
∵0≤x≤4，
∴当x=2时，MN取得最大值为4．
（3）存在．
①当ON⊥AB时，（如图1）
可证：∠NOQ=∠OAB，∠OQN=∠AOB=90°，
∴△AOB∽△OQN．
∴
∴OA=3，OB=4，
∴AB=5，
∵ONAB=OAOB，
∴ON=，
∴NQ=，OQ=．
∴N（，）；
②当N为AB中点时，（如图2）
∠NOQ=∠B，∠AOB=∠NQO=90°，
∴△AOB∽∽△NQO．此时N（2，）．
∴满足条件的N（，）或N（2，）．

【解析】（1）根据抛物线y=mx2﹣x+n经过A（0，3）、B（4，0），将两点坐标代入抛物线即可得出m，n的值；
（2）根据待定系数法可求经过AB两点的一次函数的解析式，得到MN=﹣x+3﹣（x2﹣x+3）=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，从而求解；
（3）分两种情况讨论，①当ON⊥AB 时，②当N为AB中点时，依次求出点N的坐标即可．