Question

【题目】已知⊙O的弦CD与直径AB垂直于F，点E在CD上，且AE=CE．

（1）求证：CA2=CE CD；

（2）已知CA=5，EC=3，求sin∠EAF．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）sin∠EAF=．

【解析】试题分析：

（1）由已知条件易得∠CAE=∠D，结合∠C是公共角可得△CEA∽△CAD，从而可得：，由此即可得到：CA2=CE ·CD；

（2）由CA2=CE ·CD结合CA=5，EC=3，可求出CD的长，结合F是CD的中点可求得CF的长，从而由EF=CF-EC求得EF的长，这样结合AE=EC=3在Rt△AEF中即可求得sin∠EAF的值了.

试题解析：

（1）∵弦CD⊥直径AB，

∴，

∴∠D=∠C，

又∵AE=EC，

∴∠CAE=∠C，

∴∠CAE=∠D，

∵∠C是公共角，

∴△CEA∽△CAD，

∴ ，

∴CA2=CECD；

（2）∵CA2=CECD，AC=5，EC=3，

∴52=CD3，

解得：CD=，

又∵CF=FD，

∴CF=CD=×=，

∴EF=CF-CE=-3=，

在Rt△AFE中，sin∠EAF=．