【题目】古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常用小石子摆成各种形状来研究数学问题．

如图1，由于这些三角形是由1个，3个，6个，10个，… 小石子摆成的，所以他们称1，3，6，10，…，这些数为三边形数；类似的，如图2，他们称1，4，9，16，…，这样的数为四边形数．

（1）既是三边形数，又是四边形数，且大于1的最小正整数是 ；

（2）如果记第n个k边形小石子的个数为（k≥3），那么易得，，．

① ； ；

② ； ；

③ 如果，那么 ；

（3）如果进一步研究发现，，…，那么 ．

参考答案：

【答案】（1）36；（2）① 6，81；②，；③ 10；（3）1 000．

【解析】

（1）图1中1、3、6、10，…，第n个图中点的个数是1+2+3+…+n，即；图2中1、4、9、16，…，第n个图中点的个数是n2，求出能同时满足两个式子的数，即可得出结果；

（2）由图1中1、3、6、10，…，第n个图中点的个数是1+2+3+…+n，即；图2中1、4、9、16，…，第n个图中点的个数是n2，即可得出结果；

（3）由M（n，3），M（n，4），M（n，5），M（n，6），可推断M（n，k）（k≥3），将M（10，24）代入即可得出结果．

（1）∵四边形数点的个数是为n2，

∴除1外，分别为4，9，16，25，36，49，64，…．

∵图1中1、3、6、10，…，第n个图中点的个数是1+2+3+…+n，即三边形数点的个数是为，

∵4无正整数解，

∴4不是三边形数．

∵9无正整数解，

∴9不是三边形数．

∵16无正整数解，

∴16不是三边形数．

∵25无正整数解，

∴25不是三边形数．

∵36，解得：n=8，所以36是三边形数，

∴除1外，最小的既是三边形数又是四边形数的是36．

故答案为：36；

（2）由（1）知：M（n，3），M（n，4）=n2；

故：①M（3，3）==6，M（9，4）=92=81；

②M（n，3），M（n，4）=n2；

③M（n，3）=55，

∴n2+n-110=0，

∴（n-10）（n+11）=0，

解得：n=10或n=-11（舍去），

∴n=10．

（3）∵M（n，3），

M（n，4）=n2，

M（n，5）n2n，

M（n，6）=2n2﹣n，

∴由此变化规律可推断M（n，k）（k≥3），

∴M（10，24）1000．

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