Question

【题目】已知关于x的方程（x﹣3）（x﹣2）﹣p2=0．
（1）求证：无论p取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）设方程两实数根分别为x1 ， x2 ， 且满足 ，求实数p的值．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：（x﹣3）（x﹣2）﹣p2=0，

x2﹣5x+6﹣p2=0，

△=（﹣5）2﹣4×1×（6﹣p2）=25﹣24+4p2=1+4p2，

∵无论p取何值时，总有4p2≥0，

∴1+4p2＞0，

∴无论p取何值时，方程总有两个不相等的实数根．

（2）

证明：x1+x2=5，x1x2=6﹣p2，

∵ ，

∴（x1+x2）2﹣2x1x2=3x1x2，

∴52=5（6﹣p2），

∴p=±1．

【解析】（1）化成一般形式，求根的判别式，当△＞0时，方程总有两个不相等的实数根；
　　　　（2）根据根与系的关系求出两根和与两根积，再把 变形，化成和与乘积的形式，代入计算，得到一个关于p的一元二次方程，解方程．
本题考查了根的判别式和根与系数的关系，注意熟记以下知识点：
一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两实数根分别为x1 ， x2 ， 则有 ， ．