Question

【题目】如图，在ABCD中，E是CD的中点，AE是延长线交BC的延长线于F，分别连接AC，DF，解答下列问题：
（1）求证：△ADE≌△FCE；
（2）若DC平分∠ADF，试确定四边形ACFD是什么特殊四边形？请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∴∠DAE=∠F，∠D=∠ECF，

又∵E是DC的中点，

∴DE=CE，

在△ADE和△FCE中， ，

∴△ADE≌△FCE（AAS）

（2）解：若DC平分∠ADF，则四边形ACFD是菱形；理由如下：

∵△ADE≌△FCE，

∴AD=CF，

又∵AD∥CF，

∴四边形ACFD是平行四边形，

∵DC平分∠ADF，

∴∠ADC=∠CDF，

∴∠FCD=∠CDF，

∴DF=CF，

∴四边形ACFD是菱形

【解析】（1）由平行四边形的性质和中点的性质，易得∠DAE=∠F，∠D=∠ECF，AE=CE，继而证得：△ADE≌△FCE．（2）由第（1）问中△ADE≌△FCE，易得AD=CF，又由AD∥CF，即可证得四边形ACFD是平行四边形，再证出DF=CF，即可得出结论．
【考点精析】认真审题，首先需要了解平行四边形的性质(平行四边形的对边相等且平行；平行四边形的对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分)．