Question

【题目】如图，矩形的对角线， 相交于点， 关于的对称图形为．

（1）求证：四边形是菱形；

（2）连接，若， ．

①求的值；

②若点为线段上一动点（不与点重合），连接，一动点从点出发，以的速度沿线段匀速运动到点，再以的速度沿线段匀速运动到点，到达点后停止运动．当点沿上述路线运动到点所需要的时间最短时，求的长和点走完全程所需的时间．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）① ；②和 走完全程所需时间为 .

【解析】试题分析：（1）利用四边相等的四边形是菱形进行证明即可；

（2）①构造直角三角形求即可；

②先确定点沿上述路线运动到点所需要的时间最短时的位置，再计算运到的时间.

试题解析：（1） 四边形 是矩形， ，

与 交于点O,且 关于 对称，

，

，

四边形 是菱形；

（2）①连接 ,直线 分别交 于点 ,交 于点 ，

关于 的对称图形为 ，

，

在矩形 中， 为 的中点，且O为AC的中点，

为 的中位线 ， ，

同理可得： 为 的中点， ，

，

；

②过点P作 交 于点 ，

由 运动到 所需的时间为3s，

由①可得， ，

点O以 的速度从P到A所需的时间等于以 从M运动到A，

即： ，

由O运动到P所需的时间就是OP+MA和最小.

如下图，当P运动到 ,即 时，所用时间最短.

，

在 中，设， ，

，

解得： ， ，

和 走完全程所需时间为.