Question

【题目】如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，D是OA延长线上的一点，连接DC，且∠B=∠D=30°，AC=4．

（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）求阴影部分的面积．

Answer 1

【答案】（1）CD为⊙O的切线；（2）π﹣4．

【解析】

试题分析：（1）连结OC，如图，根据圆周角定理得到∠AOC=2∠B=60°，则利用三角形内角和可计算出∠OCD=90°，所以OC⊥CD，然后根据切线的判定定理可判断CD为⊙O的切线；

（2）先判断△AOC为等边三角形，则OA=AC=4，然后根据扇形面积公式和等边三角形的面积公式，利用S阴影部分=S扇形AOC﹣S△OAC进行计算．

解：（1）直线CD为⊙O的切线．理由如下：

连结OC，如图，

则∠AOC=2∠B=60°，

∵∠D=30°，

∴∠OCD=180°﹣30°﹣60°=90°，

∴OC⊥CD，

∴CD为⊙O的切线；

（2）∵OA=OC，∠AOC=60°，

∴△AOC为等边三角形，

∴OA=AC=4，

∴S阴影部分=S扇形AOC﹣S△OAC

=﹣42

=π﹣4．