Question

【题目】如图，在△BCE中，点A时边BE上一点，以AB为直径的⊙O与CE相切于点D，AD∥OC，点F为OC与⊙O的交点，连接AF．

（1）求证：CB是⊙O的切线；

（2）若∠ECB=60°，AB=6，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）根据已知条件易证△CDO≌△CBO，即可得∠CBO=∠CDO=90°，所以CB是⊙O的切线；（2）根据条件证明△ADG≌△FOG，可得S△ADG=S△FOG，再由S阴=S扇形ODF，利用扇形面积公式计算即可．

试题解析：（1）证明：连接OD，与AF相交于点G，

∵CE与⊙O相切于点D，

∴OD⊥CE，

∴∠CDO=90°，

∵AD∥OC，

∴∠ADO=∠1，∠DAO=∠2，

∵OA=OD，

∴∠ADO=∠DAO，

∴∠1=∠2，

在△CDO和△CBO中，

，

∴△CDO≌△CBO，

∴∠CBO=∠CDO=90°，

∴CB是⊙O的切线．

（2）由（1）可知∠3=∠BCO，∠1=∠2，

∵∠ECB=60°，

∴∠3=∠ECB=30°，

∴∠1=∠2=60°，

∴∠4=60°，

∵OA=OD，

∴△OAD是等边三角形，

∴AD=OD=OF，∵∠1=∠ADO，

在△ADG和△FOG中，

，

∴△ADG≌△FOG，

∴S△ADG=S△FOG，

∵AB=6，

∴⊙O的半径r=3，

∴S阴=S扇形ODF==．