Question

【题目】如图，已知A，B两点的坐标分别为（2 ，0），（0，10），M是△AOB外接圆⊙C上的一点，且∠AOM=30°，则点M的坐标为 ．

Answer 1

【答案】（4 ，4）
【解析】解：∵A，B两点的坐标分别为（2 ，0），（0，10），
∴OB=10，OA=2 ，
∴AB= =4 ，
∵∠AOB=90°，
∴AB是直径，CM=2 ，
∴Rt△AOB外接圆的圆心为AB中点，
∴C点坐标为（ ，5），
过点C作CF∥OA，过点M作ME⊥OA于E交CF于F，作CN⊥OE于N，如图所示：
则ON=AN= OA= ，
设ME=x，
∵∠AOM=30°，
∴OE= x
∴∠CFM=90°，
∴MF=5﹣x，CF= x﹣ ，CM=2 ，
在△CMF中，根据勾股定理得：（ x﹣ ）2+（5﹣x）2=（2 ）2 ，
解得：x=4或x=0（舍去），
∴OE= x=4
故答案为：（4 ，4）．

由勾股定理求出AB的长，由圆周角定理得出AB为直径，求出半径和圆心C的坐标，过点C作CF∥OA，过点P作ME⊥OA于E交CF于F，作CN⊥OE于N，设ME=x，得出OE= x，在△CMF中，根据勾股定理得出方程，解方程即可．