Question

【题目】如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BD平分∠ABC．

（1）延长BA到M，使AM=AD，连接CM，求∠ACM的度数．

（2）如图2，若CE⊥BD于E，则BD与EC存在怎样的数量关系？请说明理由.

（3）如图3，点P是射线BA上A点右边一动点，以CP为斜边作等腰直角△CPF，其中∠F=90°，点Q为∠FCP与∠CPF的角平分线的交点．当点P运动时，点Q是否一定在射线BD上？若在，请证明；若不在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）22.5°；（2）BD=2CE，理由见解析；（3）点Q一定在射线BD上.

【解析】试题分析: （1）通过证明△BDA≌△MCA,得到∠DBA=∠MCA,再根据BD平分∠ABC得∠ABD＝22.5°，得到∠ACM＝22.5°；

(2)延长CE交BA的延长线于点G，通过判定△ABD≌△ACG，得出BD＝CG＝2CE即可；

(3)连接CQ，过点Q作QM⊥BP于M，作QN⊥BC于N，在等腰直角△CPF中，求得∠QCP＝∠QPC＝22.5°，进而得出△PQC中，∠PQC＝135°；在四边形QNBM中，根据QM⊥BP，QN⊥BC，∠ABC＝45°，得到∠MQN＝135°，进而得到∠NQC＝∠MQP，根据AAS判定△QPM≌△QCN，得出QM＝QN，最后根据角平分线的性质定理的逆定理，得出点Q一定在射线BD上．

试题解析:

（1）∵∠BAC＝90°，

∴∠CAM=90°,

∴∠BAC＝∠CAM，

又∵AB＝AC，AM=AD，

∴△BDA≌△MCA,

∴∠DBA=∠MCA,

∵BD平分∠ABC,

∴∠ABD＝22.5°，

∴∠ACM ＝22.5°；

故答案为：22.5°．

（2）如图，延长CE交BA的延长线于点G，

∵BD平分∠ABC，CE⊥BD，

∴CE＝GE，

在△ABD与△ACG中，

，

∴△ABD≌△ACG（AAS），

∴BD＝CG＝2CE；

（3）点Q一定在射线BD上，

理由：如图，连接CQ，过点Q作QM⊥BP于M，作QN⊥BC于N，

∵QF为∠PFC的角平分线，△CPF为等腰直角三角形，

∴QF为PC的垂直平分线，

∴PQ＝QC，

∵Q为∠FPC与∠PFC的角平分线的交点，

∴CQ平分∠FCP，

∵△CPF为等腰直角三角形，

∴∠FCP＝∠FPC＝45°，

∴∠QCP＝∠QPC＝22.5°，

∴△PQC中，∠PQC＝135°，

∵在四边形QNBM中，QM⊥BP，QN⊥BC，∠ABC＝45°，

∴∠MQN＝135°，

∴∠MQN＝∠PQC，

∴∠NQC＝∠MQP，

又∵QC＝QP，QM⊥BP，QN⊥BC，

∴△QPM≌△QCN（AAS），

∴QM＝QN，

又∵QM⊥BP，QN⊥BC，

∴点Q一定在射线BD上．

点睛: 本题主要考查了三角形的综合应用，解题时需要运用三角形内角和定理、等腰直角三角形的性质、角平分线的定义以及全等三角形的判定与性质等知识．解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形，根据全等三角形的性质进行推导．解题时注意：到角两边距离相等的点在这个角的平分线上．