Question

【题目】在四边形ABCD中，AC、BD交于点E，且∠ACD=∠ADC.

（1）如图1，若AB=AD，求证：∠BAC=2∠BDC；

（2）如图2，在（1）的条件下，若∠BDC=30°，求证：BC=AC.

（3）如图3，若BC＝AD，∠BDC=30°，过A作AE⊥BD于E，过C作CF⊥BD于F， 且EF：BE＝2:11，DF=9，求BD的长.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；

（2）证明见解析；

（3）BD的长为22.

【解析】试题分析：（1）△ABC和△BCD中，理由三角形内角和定理及等角对等边进行等量代换即可；（2）先由等角对等边、等量代换得出△ABC是等腰三角形，再由∠BDC=30°，∠BAC=2∠BDC得出△ABC是等边三角形，即可得出结果；（3）由已知可得AB=AD,由等腰三角形的性质即可求得.

试题解析：（1）

在△ABC中，∠1+∠2+∠3+∠4=180°，

在△BCD中，∠3+∠4+∠6+∠7=180°，

∴∠1+∠2=∠6+∠7，

∵∠ACD=∠ADC，即∠7=∠5+∠6，

∴∠1+∠2=∠6+∠5+∠6，

∵AB=AD,

∴∠2=∠5,

∴∠1+∠5=∠6+∠5+∠6，

∴∠1=2∠6，

即∠BAC=2∠BDC.

（2）∵∠ACD=∠ADC，

∴AC=AD,

∵AB=AD,

∴AC=AB,

∴△ABC是等腰三角形，

∵∠BDC=30°，

∴∠BAC=2∠BDC=60°，

△ABC是等边三角形，

∴BC=AC.

（3）由题可知AB=AD,

∵AE⊥BD,

∴BE=DE.

设EF=2x,BE=11x,

则2x+9=11x,x=1,

∴BD=13+9=22.