Question

【题目】如图，在ABCD中，E为BC边上的一点，将△ABE沿AE翻折得到△AFE，点F恰好落在线段DE上．

（1）求证：∠FAD=∠CDE
（2）当AB=5，AD=6，且tan∠ABC=2时，求线段EC的长．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠B=∠ADC，

∵将△BAE沿AE翻折得到△FAE，点F恰好落在线段DE上，

∴△ABE≌△AFE，

∴∠B=∠AFE，

∴∠AFE=∠ADC，

∵∠FAD=∠AFE﹣∠1，∠CDE=∠ADC﹣∠1，

∴∠FAD=∠CDE

（2）

过点D作DG⊥BE，交BE的延长线于点G．

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AD∥BC，CD=AB=5，

∴∠2=∠B，∠3=∠EAD，

由（1）可知，△ABE≌△AFE，

∴∠B=∠AFE，∠3=∠4，

∴∠4=∠EAD，

∴ED=AD=6，

在Rt△CDG中，tan∠2=tan∠ABC==2，

∴DG=2CG，

∵DG2+CG2=CD2，

∴（2CG）2+CG2=52，

∴CG=，DG=2，

在Rt△EDG中，

∵EG2+DG2=DE2，

∴EG=4，

∴EC=4﹣．

【解析】（1）由平行四边形的性质和翻折的性质得出∠B=∠ADC，∠B=∠AFE，得出∠AFE=∠ADC，即可得出结论；
（2）过点D作DG⊥BE，交BE的延长线于点G．由平行四边形的性质得出∠2=∠B，∠3=∠EAD，由翻折的性质得出∠B=∠AFE，∠3=∠4，得出∠4=∠EAD．得出ED=AD=6，由三角函数得出DG=2CG，根据勾股定理得出DG2+CG2=CD2 ， 求出CG、DG，再根据勾股定理求出EG，即可得出EC．
【考点精析】解答此题的关键在于理解平行四边形的性质的相关知识，掌握平行四边形的对边相等且平行；平行四边形的对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分．