Question

【题目】如图，边长为2的正三角形ABC中，P0是BC边的中点，一束光线自P0发出射到AC上的点P1后，依次反射到AB、BC上的点P2和P3（反射角等于入射角）．

（1）若∠P2P3B=45°，CP1=；
（2）若 ＜BP3＜ ，则P1C长的取值范围是 ．

Answer 1

【答案】
（1）
（2） ＜P1C＜
【解析】解：（1）过P0作P0H⊥AC于H，
∵反射角等于入射角，
∴∠P0P1C=∠P2P1A=∠P2P3B，
又∵∠C=∠A=∠B=60°，
∴△P0P1C∽△P2P3B，
∴∠CP1P0=∠P2P3B=45°，
∴P0H=P1H，
∵P0是BC边的中点，
∴CP0=1，
∴CH= ，P0H=P1H= ，
∴CP1= + = ；
所以答案是： ；（2）∵反射角等于入射角，
∴∠P0P1C=∠P2P1A=∠P2P3B，
又∵∠C=∠A=∠B=60°，
∴△P0P1C∽△P2P1A∽△P2P3B，
∴ = = ，
设P1C=x，P2A=y，则P1A=2﹣x，P2B=2﹣y．
∴ = ，
∴ ，
∴x= （2+P3B），
又∵ ＜BP3＜ ，
∴ ＜x＜ ，
即P1C长的取值范围是： ＜P1C＜ ，
所以答案是： ＜P1C＜ ．

【考点精析】认真审题，首先需要了解等边三角形的性质(等边三角形的三个角都相等并且每个角都是60°)，还要掌握相似三角形的判定与性质(相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方)的相关知识才是答题的关键．