Question

【题目】如图，已知四边形ABCD和四边形DEFG为正方形，点E在线段DE上，点A，D，G在同一直线上，且AD=3，DE=1，连接AC，CG，AE，并延长AE交CG于点H．

（1）求sin∠EAC的值．
（2）求线段AH的长．

Answer 1

【答案】
（1）解：作EM⊥AC于M．

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ADC=90°，AD=DC=3，∠DCA=45°，

∴在RT△ADE中，∵∠ADE=90°，AD=3，DE=1，

∴AE= ，

在RT△EMC中，∵∠EMC=90°，∠ECM=45°，EC=2，

∴EM=CM= ，

∴在RT△AEM中，sin∠EAM= = ．

（2）在△GDC和△EDA中，

，

∴△GDC≌△EDA，

∴∠GCD=∠EAD，GC=AE= ，

∵∠EHC=∠EDA=90°，

∴AH⊥GC，

∵S△AGC= AGDC= GCAH，

∴ ×4×3= × ×AH，

∴AH= ．

【解析】（1）作EM⊥AC于M，根据sin∠EAM= 求出EM、AE即可解决问题．（2）先证明△GDC≌△EDA，得∠GCD=∠EAD，推出AH⊥GC，再根据S△AGC= AGDC= GCAH，即可解决问题．本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、三角形面积等知识，添加常用辅助线是解决问题的关键，学会用面积法求线段，属于中考常考题型．