Question

【题目】已知函数y1=ax2+bx，y2=ax+b（ab≠0）．在同一平面直角坐标系中．
（1）若函数y1的图象过点（﹣1，0），函数y2的图象过点（1，2），求a，b的值．
（2）若函数y2的图象经过y1的顶点．
①求证：2a+b=0；
②当1＜x＜ 时，比较y1 ， y2的大小．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由题意得： ，解得： ，

故a=1，b=1．

（2）

解：①证明：∵y1=ax2+bx=a ，

∴函数y1的顶点为（ ），

∵函数y2的图象经过y1的顶点，

∴ +b，即b= ，

∵ab≠0，

∴﹣b=2a，

∴2a+b=0．

②∵b=﹣2a，

∴y1=ax2﹣2ax=ax（x﹣2），y2=ax﹣2a，

∴y1﹣y2=a（x﹣2）（x﹣1）．

∵1＜x＜ ，

∴x﹣2＜0，x﹣1＞0，（x﹣2）（x﹣1）＜0．

当a＞0时，a（x﹣2）（x﹣1）＜0，y1＜y2；

当a＜0时，a（x﹣1）（x﹣1）＞0，y1＞y2．

【解析】（1）结合点的坐标利用待定系数法即可得出关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可得出结论；（2）①将函数y1的解析式配方，即可找出其顶点坐标，将顶点坐标代入函数y2的解析式中，即可的出a、b的关系，再根据ab≠0，整理变形后即可得出结论；②由①中的结论，用a表示出b，两函数解析式做差，即可得出y1﹣y2=a（x﹣2）（x﹣1），根据x的取值范围可得出（x﹣2）（x﹣1）＜0，分a＞0或a＜0两种情况考虑，即可得出结论．本题考查了二次函数的综合应用，解题的关键是：（1）结合点的坐标利用待定系数法求出函数系数；（2）①函数y1的顶点坐标代入y2中，找出a、b间的关系；②分a＞0或a＜0两种情况考虑．本题属于中档题，难度不大，解决该题时，利用配方法找出函数y1的顶点坐标，再代入y2中找出a、b间的关系是关键．
【考点精析】解答此题的关键在于理解二元一次方程组的解的相关知识，掌握二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程的解．