Question

【题目】如图所示，AB是⊙O的直径，OD⊥弦BC于点F，且交⊙O于点E，若∠AEC=∠ODB．

（1）判断直线BD和⊙O的位置关系，并给出证明；

（2）当AB=10，BC=8时，求BD的长．

Answer 1

【答案】（1）答：BD和⊙O相切.

证明：∵OD⊥BC,

∴∠OFB=∠BFD =90°,

∴∠D+∠3=90°.

∵∠4=∠D=∠2,　　　　　……………………………1分

∴∠2+∠3=90°,

∴∠OBD=90°,

即OB⊥BD.

∵点B在⊙O上，

∴BD和⊙O相切. ……………………………2分

(2) ∵OD⊥BC,BC=8,

∴BF="FC=4. " ……………………………3分

∵ AB=10,

∴OB=OA=5.

在Rt△OFB中, ∠OFB =90°,

∵OB=5,BF=4,

∴OF="3. " ……………………………4分

∴tan∠1=.

在Rt△OBD中, ∠OBD =90°,

∵tan∠1=, OB=5,

∴. …………………………… 5分

【解析】试题分析：（1）因为同弧所对的圆周角相等，所以有∠AEC=∠ABC，又∠AEC=∠ODB，所以∠ABC=∠ODB，OD⊥弦BC，即∠ABC+∠BOD=90°，则有∠ODB+∠BOD=90°，即BD垂直于AB，所以BD为切线．

（2）连接AC，由于AB为直径，所以AC和BC垂直，又由（1）知∠ABC=∠ODB，所以有△ACB∽△OBD，而AC可由勾股定理求出，所以根据对应线段成比例求出BD．

试题解析：（1）答：BD和⊙O相切．

证明：∵OD⊥BC,

∴∠OFB=∠BFD=90°,

∴∠D+∠3=90°．

∵∠4=∠D=∠2,

∴∠2+∠3=90°,

∴∠OBD=90°,

即OB⊥BD．

∵点B在⊙O上，

∴BD和⊙O相切．

（2）∵OD⊥BC,BC=8,

∴BF="FC=4"

∵AB=10,

∴OB=OA=5．

在Rt△OFB中, ∠OFB =90°,

∵OB=5,BF=4,

∴OF=3．

∴tan∠1=．

在Rt△OBD中, ∠OBD =90°,

∵tan∠1=, OB=5,

∴．