Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AD平分∠CAE交⊙O于点D，且AE⊥CD，垂足为点E．

（1）求证：直线CE是⊙O的切线．

（2）若BC=3，CD=3，求弦AD的长．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；（2）AD=．

【解析】试题分析：（1）连结OC，如图，由AD平分∠EAC得到∠1=∠3，加上∠1=∠2，则∠3=∠2，于是可判断OD∥AE，根据平行线的性质得OD⊥CE，然后根据切线的判定定理得到结论；

（2）由△CDB∽△CAD，可得，推出CD2=CBCA，可得（3）2=3CA，推出CA=6，推出AB=CA﹣BC=3，，设BD=K，AD=2K，在Rt△ADB中，可得2k2+4k2=5，求出k即可解决问题．

试题解析：（1）证明：连结OC，如图，

∵AD平分∠EAC，

∴∠1=∠3，

∵OA=OD，

∴∠1=∠2，

∴∠3=∠2，

∴OD∥AE，

∵AE⊥DC，

∴OD⊥CE，

∴CE是⊙O的切线；

（2）∵∠CDO=∠ADB=90°，

∴∠2=∠CDB=∠1，∵∠C=∠C，

∴△CDB∽△CAD，

∴，

∴CD2=CBCA，

∴（3）2=3CA，

∴CA=6，

∴AB=CA﹣BC=3，,设BD=K，AD=2K，

在Rt△ADB中，2k2+4k2=5，

∴k=，

∴AD=．