Question

【题目】如图，在△ABC中，AB=AC，D为线段BC的延长线上一点，且DB=DA，BE⊥AD于点E，取BE的中点F，连接AF．

(1)若AC=，AE=，求BE的长；

(2)在（1）的条件下，如果∠D=45°，求△ABD的面积．

(3)若∠BAC=∠DAF，求证：2AF=AD；

Answer 1

【答案】（1）；（2）9；（3）见详解

【解析】

（1）在Rt△AEB中，利用勾股定理即可解决问题；

（2）由∠D＝45°可证得BE＝DE，再利用三角的面积公式计算即可；

（3）如图，延长AF至M点，使AF＝MF，连接BM，首先证明△AEF≌△MFB，再证明△ABM≌△ACD即可．

（1）解：∵AB＝AC，AC＝，

∴AB＝，

∵BE⊥AD，AE＝，

∴在Rt△AEB中，；

（2）解：∵BE⊥AD，∠D＝45°，

∴∠EBD＝∠D ＝45°，

∴BE＝DE＝，

∴AD＝AE+DE＝，

∴；

（3）证明：如图，延长AF至M点，使AF＝MF，连接BM，

∵点F为BE的中点，

∴EF＝BF，

在△AEF和△MBF中，

∴△AEF≌△MBF（SAS），

∴∠FAE＝∠FMB，

∴AE∥MB，

∴∠EAB+∠ABM＝180°，

∴∠ABM＝180°﹣∠BAD，

又∵AB＝AC，DB＝DA，

∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAD，

∴∠ACD＝180°﹣∠ACB，

∴∠ABM＝∠ACD．

又∵∠BAC＝∠DAF，

∴∠BAC﹣∠MAC＝∠DAF﹣∠MAC，

∴∠1＝∠2．

在△ABM和△ACD中，

，

∴△ABM≌△ACD（ASA），

∴AM＝AD，

又∵AM＝AF+MF＝2AF，

∴2AF＝AD．