Question

【题目】已知直线 y＝kx＋b(k≠0)过点 F(0，1)，与抛物线 相交于B、C 两点

(1)如图 1，当点 C 的横坐标为 1 时，求直线 BC 的解析式；

(2)在(1)的条件下，点 M 是直线 BC 上一动点，过点 M 作 y 轴的平行线，与抛物线交于点 D， 是否存在这样的点 M，使得以 M、D、O、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)如图 2，设 B(m，n)(m＜0)，过点 E(0，－1)的直线 l∥x 轴，BR⊥l 于 R，CS⊥l 于 S，连接 FR、FS.试判断△ RFS 的形状，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在；M点坐标为：（-3，），，；（3）△RFS是直角三角形；证明见详解.

【解析】

（1）首先求出C的坐标，然后由C、F两点用待定系数法求解析式即可；

（2）因为DM∥OF，要使以M、D、O、F为顶点的四边形为平行四边形，则DM=OF，设M（x，），则D（x，x2），表示出DM，分类讨论列方程求解；

（3）根据勾股定理求出BR=BF，再由BR∥EF得到∠RFE=∠BFR，同理可得∠EFS=∠CFS，所以∠RFS=∠BFC=90°，所以△RFS是直角三角形．

解：（1）因为点C在抛物线上，所以C（1，），

又∵直线BC过C、F两点，

故得方程组：

解之，得，

所以直线BC的解析式为：；

（2）存在；理由如下：

要使以M、D、O、F为顶点的四边形为平行四边形，则MD=OF，如图1所示，

设M（x，），则D（x，x2），

∵MD∥y轴，

∴，

由MD=OF，可得：；

①当时，

解得：x1=0（舍）或x1=-3，

所以M（-3，）；

②当时，

解得：，

所以M或M，

综上所述，存在这样的点M，使以M、D、O、F为顶点的四边形为平行四边形，

M点坐标为：（-3，），，；

（3）△RFS是直角三角形；理由如下：

过点F作FT⊥BR于点T，如图2所示，

∵点B（m，n）在抛物线上，

∴m2=4n，

在Rt△BTF中，

，

∵n＞0，

∴BF=n+1，

又∵BR=n+1，

∴BF=BR．

∴∠BRF=∠BFR，

又∵BR⊥l，EF⊥l，

∴BR∥EF，

∴∠BRF=∠RFE，

∴∠RFE=∠BFR，

同理可得∠EFS=∠CFS，

∴∠RFS=∠BFC=90°，

∴△RFS是直角三角形．