Question

【题目】如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，且AC=BC，AB=2AD．
（1）求∠ADC的度数；
（2）若AB=10cm，CD=12cm，求四边形ABCD的面积．

Answer 1

【答案】解：（1）作CE⊥AB交AB于点E，则∠AEC=90°，
∵AC=BC，
∴CE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE=AB，
∵AB=2AD，
∴AE=AD=AB，
∵∠AC平分∠BAD，
∴∠EAC=∠DAC，
在△ADC和△AEC中，
，
∴△ADC≌△AEC，
∴∠ADC=∠AEC=90°；
（2）∵CE是AB的垂直平分线，
∴S△ACD=S△AEC ，
∵AB=2AD，CD=CE，
∴S△ACB=2S△ADC ，
∴四边形ABCD的面积=3S△ADC=3××5×12=90cm2 ．

【解析】（1）作CE⊥AB交AB于点E，则∠AEC=90°，利用已知条件和全等三角形的判定方法可证明△ADC≌△AEC，利用全等三角形的性质即可得到∠ADC=∠AEC=90°；
（2）由（1）可知S△ACD=S△AEC ， 再根据高相等的两个三角形面积比等于底之比可得S△ACB=2S△ADC ， 进而四边形ABCD的面积=3S△ADC ， 问题得解．