Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+1交y轴于点A，交x轴正半轴于点B（4，0），与过A点的直线相交于另一点D（3， ），过点D作DC⊥x轴，垂足为C．

（1）求抛物线的表达式；
（2）点P在线段OC上（不与点O、C重合），过P作PN⊥x轴，交直线AD于M，交抛物线于点N，连接CM，求△PCM面积的最大值；
（3）若P是x轴正半轴上的一动点，设OP的长为t，是否存在t，使以点M、C、D、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把点B（4，0），点D（3， ），代入y=ax2+bx+1中得， ，

解得： ，

∴抛物线的表达式为y=﹣ x2+ x+1

（2）

解：设直线AD的解析式为y=kx+b，

∵A（0，1），D（3， ），

∴ ，

∴ ，

∴直线AD的解析式为y= x+1，

设P（t，0），

∴M（t， t+1），

∴PM= t+1，

∵CD⊥x轴，

∴PC=3﹣t，

∴S△PCM= PCPM= （3﹣t）（ t+1），

∴S△PCM=﹣ t2+ t+ =﹣ （t﹣ ）2+ ，

∴△PCM面积的最大值是

（3）

解：∵OP=t，

∴点M，N的横坐标为t，

设M（t， t+1），N（t，﹣ t2+ t+1），

∴MN=﹣ t2+ t+1﹣ t﹣1=﹣ t2+ t，CD= ，

如果以点M、C、D、N为顶点的四边形是平行四边形，

∴MN=CD，即﹣ t2+ t= ，

∵△=﹣39，

∴方程﹣ t2+ t= 无实数根，

∴不存在t，使以点M、C、D、N为顶点的四边形是平行四边形．

【解析】（1）把B（4，0），点D（3， ）代入y=ax2+bx+1即可得出抛物线的解析式；（2）先用含t的代数式表示P、M坐标，再根据三角形的面积公式求出△PCM的面积与t的函数关系式，然后运用配方法可求出△PCM面积的最大值；（3）若四边形BCMN为平行四边形，则有MN=DC，故可得出关于t的二元一次方程，解方程即可得到结论．
【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数的图象的相关知识，掌握二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点，以及对二次函数的性质的理解，了解增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小．