Question

【题目】如图，AC是□ABCD的一条对角线，过AC中点O的直线分别交AD，BC于点E，F．

（1）求证：△AOE≌△COF；

（2）若EF与AC垂直，试判断四边形AFCE的形状，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）四边形AFCE是菱形，理由详见解析．

【解析】

（1）由平行四边形的性质得出AD∥BC，得出∠EAO=∠FCO，利用对顶角相等∠AOE=∠COF，O是AC的中点，OA=OC，所以由ASA即可得出结论；（2）四边形AFCE是菱形，先证明四边形AFCE是平行四边形，再由对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可得出四边形AFCE是菱形．

（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∴∠EAO=∠FCO，

∵O是CA的中点

∴OA=OC，

又∵∠AOE=∠COF（对顶角相等），

∴△AOE≌△COF（ASA）；

（2）四边形AFCE是菱形，理由如下：

∵△AOE≌△COF，

∴AE=CF，

∵AE∥CF，

∴四边形AFCE是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），

∵EF⊥AC，

∴四边形AFCE是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）．