Question

【题目】如图，抛物线y=ax2+bx﹣2的对称轴是直线x=1，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣2，0），点P为抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E．

（1）求抛物线解析式；
（2）若点P在第一象限内，当OD=4PE时，求四边形POBE的面积；
（3）在（2）的条件下，若点M为直线BC上一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在上，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵抛物线y=ax2+bx﹣2的对称轴是直线x=1，A（﹣2，0）在抛物线上，∴ ，解得： ，抛物线解析式为y= x2﹣ x﹣2；

（2）

解：令y= x2﹣ x﹣2=0，解得：x1=﹣2，x2=4，当x=0时，y=﹣2，∴B（4，0），C（0，﹣2），设BC的解析式为y=kx+b，则 ，解得： ，∴y= x﹣2，

设D（m，0），

∵DP∥y轴，

∴E（m， m﹣2），P（m， m2﹣ m﹣2），

∵OD=4PE，

∴m=4（ m2﹣ m﹣2﹣ m+2），

∴m=5，m=0（舍去），

∴D（5，0），P（5， ），E（5， ），

∴四边形POBE的面积=S△OPD﹣S△EBD= ×5× ﹣ 1× = ；

（3）

解：存在，设M（n， n﹣2），

①以BD为对角线，如图1，

∵四边形BNDM是菱形，

∴MN垂直平分BD，

∴n=4+ ，

∴M（ ， ），

∵M，N关于x轴对称，

∴N（ ，﹣ ）；

②以BD为边，如图2，

∵四边形BNDM是菱形，

∴MN∥BD，MN=BD=MD=1，

过M作MH⊥x轴于H，

∴MH2+DH2=DM2，

即（ n﹣2）2+（n﹣5）2=12，

∴n1=4（不合题意），n2=5.6，

∴N（4.6， ），

同理（ n﹣2）2+（4﹣n）2=1，

∴n1=4+ （不合题意，舍去），n2=4﹣ ，

∴N（5﹣ ， ），

③以BD为边，如图3，

过M作MH⊥x轴于H，

∴MH2+BH2=BM2，

即（ n﹣2）2+（n﹣4）2=12，

∴n1=4+ ，n2=4﹣ （不合题意，舍去），

∴N（5+ ， ），

综上所述，当N（ ，﹣ ）或（4.6， ）或（5﹣ ， ）或（5+ ， ），以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形．

【解析】（1）由抛物线y=ax2+bx﹣2的对称轴是直线x=1，A（﹣2，0）在抛物线上，于是列方程即可得到结论；（2）根据函数解析式得到B（4，0），C（0，﹣2），求得BC的解析式为y= x﹣2，设D（m，0），得到E（m， m﹣2），P（m， m2﹣ m﹣2），根据已知条件列方程得到m=5，m=0（舍去），求得D（5，0），P（5， ），E（5， ），根据三角形的面积公式即可得到结论；（3）设M（n， n﹣2），①以BD为对角线，根据菱形的性质得到MN垂直平分BD，求得n=4+ ，于是得到N（ ，﹣ ）；②以BD为边，根据菱形的性质得到MN∥BD，MN=BD=MD=1，过M作MH⊥x轴于H，根据勾股定理列方程即可得到结论．