Question

【题目】如图1，正方形ABCD中，E为BC上一点，过B作BG⊥AE于G，延长BG至点F使∠CFB=45°
（1）求证：AG=FG；
（2）如图2延长FC、AE交于点M，连接DF、BM，若C为FM中点，BM=10，求FD的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：过C点作CH⊥BF于H点，

∵∠CFB=45°

∴CH=HF，

∵∠ABG+∠BAG=90°，∠FBE+∠ABG=90°

∴∠BAG=∠FBE，

∵AG⊥BF，CH⊥BF，

∴∠AGB=∠BHC=90°，

在△AGB和△BHC中，

∵∠AGB=∠BHC，∠BAG=∠HBC，AB=BC，

∴△AGB≌△BHC，

∴AG=BH，BG=CH，

∵BH=BG+GH，

∴BH=HF+GH=FG，

∴AG=FG；

（2）解：∵CH⊥GF，

∴CH//GM，

∵C为FM的中点，

∴CH= GM，

∴BG= GM，

∵BM=10，

∴BG=2 ，GM=4 ，

∴AG=4 ，AB=10，

∴HF=2 ，

∴CF=2 × =2 ，

∴CM=2 ，

过B点作BK⊥CM于K，

∵CK= CM= CF= ，

∴BK=3 ，

过D作DQ⊥MF交MF延长线于Q，

∴△BKC≌△CQD

∴CQ=BK=3 ，

DQ=CK= ，

∴QF=3 ﹣2 = ，

∴DF= =2

【解析】（1）过C点作CH⊥BF于H点，根据已知条件可证明△AGB≌△BHC，所以AG=BH，BG=CH，又因为BH=BG+GH，所以可得BH=HF+GH=FG，进而证明AG=FG；（2）过D作DQ⊥MF交MF延长线于Q，根据全等三角形的性质和等腰三角形的性质即可求出FD的长．
【考点精析】利用正方形的性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知正方形四个角都是直角，四条边都相等；正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；正方形的对角线与边的夹角是45o；正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形．