Question

【题目】如图：

（1）P是等腰三角形ABC底边BC上的一个动点，过点P作BC的垂线，交AB于点Q，交CA的延长线于点R．请观察AR与AQ，它们有何关系？并证明你的猜想．

（2）如果点P沿着底边BC所在的直线，按由C向B的方向运动到CB的延长线上时，（1）中所得的结论还成立吗？请你在图（2）中完成图形，并给予证明．

Answer 1

【答案】（1）AR=AQ；见解析；（2）见解析

【解析】

试题分析：（1）由已知条件，根据等腰三角形两底角相等及三角形两直角互余的性质不难推出∠PRC与∠AQR的关系；

（2）由已知条件，根据等腰三角形两底角相等及三角形两直角互余的性质不难推出∠BQP与∠PRC的关系．

解：（1）AR=AQ，理由如下：

∵AB=AC，

∴∠B=∠C．

∵RP⊥BC，

∴∠B+∠BQP=∠C+∠PRC=90°，

∴∠BQP=∠PRC．

∵∠BQP=∠AQR，

∴∠PRC=∠AQR，

∴AR=AQ；

（2）猜想仍然成立．证明如下：

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠C．

∵∠ABC=∠PBQ，

∴∠PBQ=∠C，

∵RP⊥BC，

∴∠PBQ+∠BQP=∠C+∠PRC=90°，

∴∠BQP=∠PRC，

∴AR=AQ．