Question

【题目】阅读理解：

二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式．

例如：化简．

解：将分子、分母同乘以得：．

类比应用：

（1）化简： ；

（2）化简： ．

拓展延伸：

宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．如图①，已知黄金矩形ABCD的宽AB=1．

（1）黄金矩形ABCD的长BC= ；

（2）如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以AB为边的正方形ABEF，得到新的矩形DCEF，猜想矩形DCEF是否为黄金矩形，并证明你的结论；

（3）在图②中，连结AE，则点D到线段AE的距离为 ．

Answer 1

【答案】类比应用：（1）；（2）2；拓展延伸：（1）；（2）矩形DCEF为黄金矩形，理由见解析；（3）

【解析】

类比应用：

（1）仿照题干中的过程进行计算；

（2）仿照题干中的过程进行计算；

拓展延伸：

（1）根据黄金矩形的定义结合AB=1进行计算；

（2）根据题意算出AD的长，从而得出DF，证明DF和EF的比值为即可；

（3）连接AE，DE，过D作DG⊥AE于点G，根据△AED的面积不同算法列出方程，解出DG的长即可.

解：类比应用：

（1）根据题意可得：

=；

（2）根据题意可得：

=

=

=

=2；

拓展延伸：

（1）∵宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，

若黄金矩形ABCD的宽AB=1，

则黄金矩形ABCD的长BC===；

（2）矩形DCEF为黄金矩形，理由是：

由裁剪可知：AB=AF=BE=EF=CD=1，

根据黄金矩形的性质可得：AD=BC=，

∴FD=EC=AD-AF==，

∴=，

故矩形DCEF为黄金矩形；

（3）连接AE，DE，过D作DG⊥AE于点G，

∵AB=EF=1，AD=，

∴AE=，

在△AED中，

S△AED =，

即，则，

解得DG=，

∴点D到线段AE的距离为.