Question

【题目】如图，已知△ABC中，∠B=90 ，AB=8cm，BC=6cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．

（1）出发2秒后，求线段PQ的长？

（2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒钟后，△PQB是等腰三角形？

（3）当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间？

Answer 1

【答案】(1) ； （2）t=83；（3）当t为5.5秒或6秒或6.6秒时，△BCQ为等腰三角形.

【解析】（1）根据点P、Q的运动速度求出AP，再求出BP和BQ，用勾股定理求得PQ即可；

（2）设出发t秒后，△PQB能形成等腰三角形，则BP=BQ，由BQ=2t，BP=8-t，列式求得t即可；

（3）当点Q在CA上运动上，能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间有三种情况：

①当CQ=BQ时（图1）则∠C=∠CBQ，可证明∠A=∠ABQ，则BQ=AQ，则CQ=AQ，从而求得t；

②当CQ=BC时（图2），则BC+CQ=12，易求得t；

③当BC=BQ时（图3），过B点作BE⊥AC于点E，则求得BE、CE，即可得出t.

解：(1)BQ=2×2=4cm，BP=ABAP=82×1=6cm，

∵∠B=90°，

PQ=；

(2)BQ=2t，

BP=8t，

2t=8t，

解得：t=83；

(3)①当CQ=BQ时(图1)，

则∠C=∠CBQ，

∵∠ABC=90°，

∴∠CBQ+∠ABQ=90°，

∠A+∠C=90°，

∴∠A=∠ABQ，

∴BQ=AQ，

∴CQ=AQ=5，

∴BC+CQ=11，

∴t=11÷2=5.5秒.

②当CQ=BC时(如图2)，

则BC+CQ=12

∴t=12÷2=6秒

③当BC=BQ时(如图3)，过B点作BE⊥AC于点E，

则BE=，

所以CE=BC2BE2，

故CQ=2CE=7.2，

所以BC+CQ=13.2，

∴t=13.2÷2=6.6秒.

由上可知，当t为5.5秒或6秒或6.6秒时，

△BCQ为等腰三角形.

“点睛”本题考查了勾股定理、三角形的面积以及等腰三角形的判定和性质，注意分类讨论思想的应用.