Question

【题目】已知正方形ABCD，AB=8，点E、F分别从点A、D同时出发，以每秒1m的速度分别沿着线段AB、DC向点B、C方向的运动，设运动时间为t．

（1）求证：OE=OF．

（2）在点E、F的运动过程中，连结AF．设线段AE、OE、OF、AF所形成的图形面积为S．

探究：①S的大小是否会随着运动时间为t的变化而变化？若会变化，试求出S与t的函数关系式；若不会变化，请说明理由．

②连结EF，当运动时间为t为何值时，△OEF的面积恰好等于的S．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）①见解析②t为时

【解析】试题分析：（1）根据正方形的性质得出OA=OD，∠EAO=∠FDO=45°，求出AE=DF=t，根据SAS推出△EAO≌△FDO即可；

（2）①延长EO交DC于M，求出△AOE≌△COM，根据全等三角形的性质得出AE=CM=t，根据S=S四边形AEMF﹣S△FOM求出即可；

②根据全等得出OE=OM，求出S△EOF=S△EFM=16﹣4t，即可得出方程16﹣4t=×16，求出即可．

（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴OA=OD，∠EAO=∠FDO=45°，

∵点E、F分别从点A、D同时出发，以每秒1m的速度分别沿着线段AB、DC向点B、C方向的运动，设运动时间为t，

∴AE=DF=t，

在△EAO和△FDO中

∴△EAO≌△FDO（SAS），

∴OE=OF；

（2）解：①S的大小不会随着运动时间为t的变化而变化，

理由是：延长EO交DC于M，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠OAE=∠MCO=45°，OA=OC，

在△AOE和△COM中

∴△AOE≌△COM（ASA），

∴AE=CM=t，

∴S=S四边形AEMF﹣S△FOM

=（t+8﹣t﹣t）8﹣×（8﹣t﹣t）4

=16，

所以S的大小不会随着运动时间为t的变化而变化；

②∵△AOE≌△COM，

∴OE=OM，

∴S△EOF=S△FOM=S△EFM=×（8﹣t﹣t）8=16﹣4t，

∵△OEF的面积恰好等于的S，

∴16﹣4t=×16，

解得：t=，

即当运动时间为t为时，△OEF的面积恰好等于的S．