Question

【题目】如图，已知矩形ABCD，AD=9，AB=6，若点G、H、M、N分别在AB、CD、AD、BC上，线段MN与GH交于点K．若∠GKM=45°，NM=3 ，则GH= ．

Answer 1

【答案】3
【解析】解：如图，过点A作AE∥GH交CD于E，作AF∥MN交BC于F，
则AF=MN=3 ，AE=GH，
∵∠GKM=45°，
∴∠BAF+∠DAE=90°﹣45°=45°，
作∠QAE=45°交CD的延长线于Q，
则∠QAD+∠DAE=45°，
∴∠QAD=∠FAB，
∵∠B=∠ADQ=90°，
∴△ABF∽△AQD，
∴ ，
∴ ，
∴AQ= ，
在Rt△ADQ中，DQ= = ，
过点E作EP⊥AQ于P，
∵∠QAE=45°，
∴△AEP是等腰直角三角形，
设GH=AE=x，则AP=EP= AE= x，
∵tan∠Q= = ，
∴ = ，
解得x=3 ，
所以GH=3 ．
故答案为：3 ．
过点A作AE∥GH交CD于E，作AF∥MN交BC于F，于是得到AF=MN=3 ，AE=GH，由于∠GKM=45°，得到∠BAF+∠DAE=90°﹣45°=45°，作∠QAE=45°交CD的延长线于Q，推出∠QAD+∠DAE=45°，通过△ABF≌△AQD，根据相似三角形的性质得到 ，求得AQ= ，在Rt△ADQ中，由勾股定理得到DQ= = ，过点E作EP⊥AQ于P，得到△AEP是等腰直角三角形，设GH=AE=x，则AP=EP= AE= ，然后利用∠Q的正切值列出方程求解即可．